数独の XY-Wing とは何か
軸のマスと二つの挟みマス。軸がどちらに転んでも同じ結論が出る理由と、盤面を総当たりせずに一分で探し切る手順。
XY-Wing は、数独が「形を探すゲーム」から「証明を書く作業」に変わる境目の手筋です。長方形も直線もなく、目で気づける形はどこにもありません。あるのは三つのマスが互いに「見えている」という関係だけで、見つけ方も眺めるのではなく問いを立てることです。
名前は似ていますが X-Wing とは無関係です。ここでの X・Y・Z は、そのまま候補の数字を指しています。
三つのマス
XY-Wing に参加するマスは、どれも候補がちょうど二つでなければなりません。一つでも三つでもだめです。この制限こそが議論を隙のないものにしていて、同時に、この手筋が盤面のかなり後半、マスが十分に削られてからしか使えない理由でもあります。
関係する三つの数字を X、Y、Z と呼ぶと、こうなります。
- 一つ目のマスは軸で、候補は X と Y。
- 二つ目は挟みで、候補は X と Z。軸が見えている。
- 三つ目ももう一方の挟みで、候補は Y と Z。これも軸が見えている。
二つのマスが「互いに見える」とは、同じ行、同じ列、または同じブロックにあることです。軸は両方の挟みが見えていなければなりません。挟み同士は見えている必要がなく、実際たいてい見えていません。
具体例を一つ。軸は 3 か 7、片方の挟みは 3 か 9、もう片方は 7 か 9。ここでは X が 3、Y が 7、Z が 9 で、Z は二つの挟みが共有している数字です。
なぜ必ず消せるのか
軸は X か Y のどちらかで、第三の可能性はありません。両方たどります。
軸が X だとします。すると軸が見えている挟みは X になれないので、Z になるしかありません。
軸が Y だとします。すると もう一方の挟みが Y になれないので、これも Z になるしかありません。
どちらの場合も、二つの挟みのどちらかが Z です。どちらかは分かりませんが、それは問題になりません。二つの分岐で結論が同じだからです。挟みのどこかに Z が必ずいる。
したがって、二つの挟みを同時に見ているマスは、この問題がどう決着しても Z を正面から見ていることになります。そういうマスからは Z をすべて消せます。手筋の中身はこれで全部です。
ここは味わう価値があります。多くの人にとって、場合分けを決着させないまま両方の分岐で成り立つ結論を出す、最初の経験だからです。この習慣がそのまま、いちばん硬い盤面を通り抜ける力になります。
消えるのはどのマスか
二つの挟みが同時に見ているマスを探します。挟み同士が同じ行にあるならその行の残り、同じブロックならそのブロックの残りです。実際にはお互い直接の関係がないことが多く、共通の視界は一マスだけ——片方の挟みの行と、もう片方の挟みの列が交わるマス——になります。
この交点のマスこそ XY-Wing の典型的な収穫です。一マス、候補一つ。それだけで盤面が動き出します。散々考えた割に見返りが小さく見えますが、たいていそうではありません。その一つの消去を、問題全体が待っていたのです。
なお、軸そのものからは何も消えず、この手筋が数字を直接確定させることもありません。
通用する探し方
盤面を眺めて XY-Wing を探すのは絶望的です。構造から攻めてください。
- 候補がちょうど二つのマスをすべて書き出す。行き詰まった盤面なら普通は五〜十五個。それ以外は無関係。
- そのうち一つを軸候補とし、数字を X と Y とする。
- 残りの二候補マスのうち、軸から見えるものだけを拾う。それ以外は見ない。
- その短いリストのなかで、X ともう一つの数字 Z を持つマスと、Y と同じ Z を持つマスを探す。
- 見つかったら、二つの挟みが同時に見ているマスを割り出し、そこから Z を消す。
- その軸で何も出なければ、次の二候補マスに移る。
「二候補マスのリスト」として扱えば、かかっても数分です。81 マスを睨む作業として扱えば不可能です。XY-Wing が難しいという評判は、論理ではなくほぼ探し方のせいです。
難易度のなかでの位置
Sudoku - Calm Number Puzzle では XY-Wing は X-Wing や Swordfish と並ぶエキスパート帯の手筋です。難易度はソルバーが本当に必要とした一番難しい手筋なので、それより下の帯の問題が XY-Wing を要求することはありません。むずかしいの盤面で XY-Wing しかないと感じたなら、まだ見つけていない安い手筋が必ずあります。
よくある質問
三つのマスすべて候補が二つでないといけませんか
三つとも必要です。どれか一つに三つ目の候補があると場合分けが崩れます。軸がその三つ目の数字である可能性が残り、そのときはどちらの挟みも Z を強制されません。誤用の中で最も多い形です。
二つの挟みはお互い見えている必要がありますか
ありません。むしろ普通は見えていません。必要なのは軸が両方を見ていることだけです。そのあと大事なのは、二つの挟みが同時に見ているマスを割り出すことで、それは行と列の交点の一マスであることが多いです。
XY-Wing と XYZ-Wing の違いは何ですか
XYZ-Wing では軸の候補が二つではなく X・Y・Z の三つです。軸自身が Z になりうるので、消せるのは軸と二つの挟みすべてを見ているマスだけになり、対象がずっと狭くなります。発想は同じで、結論が弱いということです。
XY-Wing は X-Wing と関係がありますか
名前だけです。X-Wing は一つの数字が長方形の四隅を作る話、XY-Wing は三つの数字が三つの二候補マスを「見える」関係でつなぐ話です。探すものがまったく違います。
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